已知矩阵A为n级方阵(n>2)，A*是A的伴随矩阵，求证当|A|=0时，(A*)*=0就是要证明当A为退化的时候，A伴随矩阵的伴随矩阵为0矩阵，注意不是证明(A*)*是退化的

Question

已知矩阵A为n级方阵(n>2)，A*是A的伴随矩阵，求证当|A|=0时，(A*)*=0
就是要证明当A为退化的时候，A伴随矩阵的伴随矩阵为0矩阵，注意不是证明(A*)*是退化的

Answer 1

先证明一个引理：

（1）R(A)=n-1，则R(A*)=1

（2）R(A)＜n-1，则R(A*)=0

【证明】

（1）AA*=|A|E

R(A)=n-1，

∴ |A|=0

∴AA*=0

∴ A*的每个列向量都是方程Ax=0的解向量，

由于R(A)=n-1，

∴  方程Ax=0的基础解系仅有一个解向量，

∴  R(A*)≤1

又 R(A)=n-1，

故A至少有一个n-1阶子式不等于0，

所以，A*至少有一个元素不为0，

所以，R(A*)≠0

从而，R(A*)=1

（2）R(A)＜n-1

∴  A的所有n-1阶子式都等于0，

∴  A*=0

∴  R(A*)=0

下面，我们来证明题目的结论，

【证明】

|A|=0，

∴  R(A)≤n-1，且AA*=A*A=0

（1）R(A)=n-1，则R(A*)=1＜n-1

∴  R[(A*)*]=0

∴  (A*)*=0

（2）R(A)＜n-1，则R(A*)=0＜n-1

∴  R[(A*)*]=0

∴  (A*)*=0

∴  无论如何， (A*)*=0都成立。