设A是n阶方阵,且存在自然数M使A^M=A^（M-1）,试证A的特征值只能是0或10,1是特征值好证,但怎么证特征值只有0,1

Question

设A是n阶方阵,且存在自然数M使A^M=A^（M-1）,试证A的特征值只能是0或1
0,1是特征值好证,但怎么证特征值只有0,1

Answer 1

设A特征值为a,则对特征向量x;
Ax=ax
A^n*x=A^(n-1)*Ax=aA^(n-1)x=a^2A^(n-2)x=…a^nx
∴A^Mx=a^Mx
又A^Mx=A^(M-1)Ax=aA^Mx
∴a^Mx=a^(M+1)x
即：(a^M-a^(M+1))x=0
∴a^M-a^(M+1)=0
a^M(1-a)=0
∴a=0或1
（包含了只有的意思）