设A为n阶矩阵,|E-A|≠0,证明:(E+A)(E-A)=(E-A)(E+A)

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设A为n阶矩阵,|E-A|≠0,证明:(E+A)(E-A)*=(E-A)*(E+A)

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答案和解析

由于 (E-A)(E+A)=(E+A)(E-A) = E²-A² =E-A²
对(E-A)(E+A)=(E+A)(E-A),两边分别左乘和右乘 (E-A)逆有
(E+A)(E-A)逆 = (E-A)逆 (E+A)
两边再乘 |E-A|
(E+A)(|E-A|(E-A)逆) = (|E-A|(E-A)逆)(E+A)
即:(E+A)(E-A)*=(E-A)*(E+A)
证毕

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