设n阶矩阵A和B满足条件A+B=AB．（1）证明A-E为可逆矩阵（其中E是n阶单位矩阵）；（2）已知B=1-30210002，求矩阵A．

Question

设n阶矩阵A和B满足条件A+B=AB．
（1）证明A-E为可逆矩阵（其中E是n阶单位矩阵）；
（2）已知B=

1	-3	0
2	1	0
0	0	2

，求矩阵A．

Answer 1

（1）由A+B=AB，加项后因式分解得有AB-B-A+E=（A-E）（B-E）=E，
所以A-E可逆，且（A-E）^-1=B-E；
（2）由（1）得，（B-E）^-1=A-E，即
A=E+（B-E）^-1．
利用分块矩阵求逆的法则：

A	0
0	B

)-1=

A-1	0
0	B-1

，
有(B-E)-1=

0	-3	0
2	0	0
0	0	1

]-1=

A	0
0	1

]-1=

A-1	0
0	1

利用2阶矩阵快速求逆法得
A-1=

0	(1)/(2)
-(1)/(3)	0

，
故（B-E）^-1=

0	(1)/(2)	0
-(1)/(3)	0	0
0	0	1

，
故
A=E+(B-E)-1=

1	(1)/(2)	0
-(1)/(3)	1	0
0	0	2

．