数列{an}、{bn}满足a1=1，a2=12，an+1=6an-9an-1（n≥2，n∈N*），bn=an+1-3an（n∈N*）．（1）求证：数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式．

Question

数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=12，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-3a_n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）证明：∵a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+1-3a_n=3（a_n-3a_n-1），
又∵a₂-3a₁=12-3=9，
∴数列{b_n}是以9为首项、3为公比的等比数列，
∴b_n=9•3^n-1=3ⁿ⁺¹；
（2） 由（1）可知a_n+1-3a_n=3ⁿ⁺¹，
∴(an+1)/(3n+1)-(3an)/(3n+1)=(3n+1)/(3n+1)，即(an+1)/(3n+1)-(an)/(3n)=1，
又∵(a1)/(3)=(1)/(3)，
∴数列{(an)/(3n)}是以(1)/(3)为首项、1为公差的等差数列，
∴(an)/(3n)=(1)/(3)+n-1=(3n-2)/(3)，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=（3n-2）•3^n-1．