已知数列{an}的前n项和Sn=3^n-1,数列{bn}满足b1=1,bn=3b(n-1)+an(n≥2),记数列{bn}的前n项和为Tn；（1）证明{an}为等比（2）求Tn

Question

已知数列{an}的前n项和Sn=3^n-1,数列{bn}满足b1=1,bn=3b(n-1)+an(n≥2),记数列{bn}的前n项和为Tn；（1）证明{an}为等比 （2）求Tn

Answer 1

Sn=3^n -1
（1）n=1时,
a1=S1=3^1-1=2
n≥2时,
an=Sn-S(n-1)=3^n-1-[3^(n-1)-1]=2*3^(n-1)
n=1也满足上式
∴ an=2*3^(n-1)
∴ a(n+1)/an=3,
∴ {an}是等比数列；
（2）bn=3b(n-1)+an(n≥2)
∴ bn=3b(n-1)+2*3^(n-1) (n≥2)
两边同时除以3^n
∴ bn/3^n=b(n-1)/3^(n-1)+2/3
∴ {bn/3^n}是等差数列,首项是b1/3=1/3,公差是2/3
∴ bn/3^n=1/3+(2/3)(n-1)=(2n-1)/3
∴ bn=(2n-1)*3^(n-1)
利用错位相减求和
∴ Tn=1*1+3*3+5*3²+.+(2n-3)*3^(n-2)+(2n-1)*3^(n-1)
3Tn= 1*3+3*3²+.+(2n-3)*3^(n-1)+(2n-1)*3^n
两式子相减
-2Tn =1+2[3+3²+.3^(n-1)]-(2n-1)*3^n
-2Tn=1+2(3-3^n)/(1-3)-(2n-1)*3^n
-2Tn=1+3^n-3-(2n-1)*3^n=-2-(2n-2)*3^n
∴ Tn=1+(n-1)*3^n