设抛物线y2=2px在与直线y=x交点处的曲率半径R=55，则此抛物线在这点处的切线方程是（）A．x-2y+2=0B．x+2y-6=0C．2x-y-2=0D．2x+y-6=0

Question

设抛物线y²=2px在与直线y=x交点处的曲率半径R=5√(5)，则此抛物线在这点处的切线方程是（　　）

A．x-2y+2=0
B．x+2y-6=0
C．2x-y-2=0
D．2x+y-6=0²√(5)，则此抛物线在这点处的切线方程是（　　）

A．x-2y+2=0
B．x+2y-6=0
C．2x-y-2=0
D．2x+y-6=0√(5)

5

5

Answer 1

∵抛物线y²2=2px，即x＝(y2)/(2p)，与直线y=x交点为x=y=2p
此时，x′＝(y)/(p)|y＝2p＝2，x″＝(1)/(p)
于是，在点（2p，2p）处的曲率为：K＝(|x″|)/((1+x′2)(3)/(2))＝(1)/(5√(5)p)
因而曲率半径为：R＝(1)/(K)＝5√(5)p＝5√(5)
∴p=1
∴抛物线方程为y²=2x，交点是（2，2），交点处的y'=(1)/(2)
∴在这点处的切线方程是：y−2＝(1)/(2)(x−2)
即x-2y+2=0
故选：A． x＝(y2)/(2p)y2y2y222p2p2p，与直线y=x交点为x=y=2p
此时，x′＝(y)/(p)|y＝2p＝2，x″＝(1)/(p)
于是，在点（2p，2p）处的曲率为：K＝(|x″|)/((1+x′2)(3)/(2))＝(1)/(5√(5)p)
因而曲率半径为：R＝(1)/(K)＝5√(5)p＝5√(5)
∴p=1
∴抛物线方程为y²=2x，交点是（2，2），交点处的y'=(1)/(2)
∴在这点处的切线方程是：y−2＝(1)/(2)(x−2)
即x-2y+2=0
故选：A． x′＝(y)/(p)yyyppp|y＝2p＝2，x″＝(1)/(p)
于是，在点（2p，2p）处的曲率为：K＝(|x″|)/((1+x′2)(3)/(2))＝(1)/(5√(5)p)
因而曲率半径为：R＝(1)/(K)＝5√(5)p＝5√(5)
∴p=1
∴抛物线方程为y²=2x，交点是（2，2），交点处的y'=(1)/(2)
∴在这点处的切线方程是：y−2＝(1)/(2)(x−2)
即x-2y+2=0
故选：A． y＝2p＝2，x″＝(1)/(p)
于是，在点（2p，2p）处的曲率为：K＝(|x″|)/((1+x′2)(3)/(2))＝(1)/(5√(5)p)
因而曲率半径为：R＝(1)/(K)＝5√(5)p＝5√(5)
∴p=1
∴抛物线方程为y²=2x，交点是（2，2），交点处的y'=(1)/(2)
∴在这点处的切线方程是：y−2＝(1)/(2)(x−2)
即x-2y+2=0
故选：A． x″＝(1)/(p)111ppp
于是，在点（2p，2p）处的曲率为：K＝(|x″|)/((1+x′2)(3)/(2))＝(1)/(5√(5)p)
因而曲率半径为：R＝(1)/(K)＝5√(5)p＝5√(5)
∴p=1
∴抛物线方程为y²=2x，交点是（2，2），交点处的y'=(1)/(2)
∴在这点处的切线方程是：y−2＝(1)/(2)(x−2)
即x-2y+2=0
故选：A． K＝(|x″|)/((1+x′2)(3)/(2))|x″||x″||x″|(1+x′2)(3)/(2)(1+x′2)(3)/(2)(1+x′2)(3)/(2)2)(3)/(2)(3)/(2)333222＝(1)/(5√(5)p)1115√(5)p5√(5)p5√(5)

5

55p
因而曲率半径为：R＝(1)/(K)＝5√(5)p＝5√(5)
∴p=1
∴抛物线方程为y²=2x，交点是（2，2），交点处的y'=(1)/(2)
∴在这点处的切线方程是：y−2＝(1)/(2)(x−2)
即x-2y+2=0
故选：A． R＝(1)/(K)111KKK＝5√(5)

5

55p＝5√(5)

5

55
∴p=1
∴抛物线方程为y²2=2x，交点是（2，2），交点处的y'=(1)/(2)
∴在这点处的切线方程是：y−2＝(1)/(2)(x−2)
即x-2y+2=0
故选：A． (1)/(2)111222
∴在这点处的切线方程是：y−2＝(1)/(2)(x−2)
即x-2y+2=0
故选：A． y−2＝(1)/(2)111222(x−2)
即x-2y+2=0
故选：A．