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已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.(Ⅰ)证明数列{an+1}是等比数列,并求{an}的通项公式;(Ⅱ)证明:1a1+1a2+…+1an<2.
题目详情
已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.
(Ⅰ)证明数列{an+1}是等比数列,并求{an}的通项公式;
(Ⅱ)证明:
+
+…+
<2.
(Ⅰ)证明数列{an+1}是等比数列,并求{an}的通项公式;
(Ⅱ)证明:
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
an |
▼优质解答
答案和解析
证明:(Ⅰ)∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),
∴{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,…3分
∴an=2n-1(n∈N*).…5分
(Ⅱ)∵n≥2时(2n-1)-2n-1=2n-1>0,即2n-1>2n-1,
∴
<
(n≥2),…9分
所以
+
+…+
<1+
+
+…+
=2(1-
)<2.…12分
∴{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,…3分
∴an=2n-1(n∈N*).…5分
(Ⅱ)∵n≥2时(2n-1)-2n-1=2n-1>0,即2n-1>2n-1,
∴
1 |
2n−1 |
1 |
2n−1 |
所以
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
an |
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
2n−1 |
1 |
2n−1 |
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