设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-n（n-1）（n=1，2，3…）．数列{bn}满足bn=1anan+1，Tn为数列bn的前n项和．（1）求an和Tn；（2）若对于任意的n∈N+，不等式λTn＜n+8（-1）n恒成立，求实数λ

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n=1，2，3…）．数列{b_n}满足b_n=(1)/(anan+1)，T_n为数列b_n的前n项和．
（1）求a_n和T_n；
（2）若对于任意的n∈N⁺，不等式λT_n＜n+8（-1）ⁿ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）当n≥2，n∈N^*时，由已知S_n=na_n-n（n-1）
得S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）．
两式相减得S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1）．
又S_n-S_n-1=a_n，所以（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=2（n-1）．
即a_n-a_n-1=2（n≥2，n∈N^*）．
所以{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，
即a_n=1+2（n-1）=2n-1，
b_n=(1)/(anan+1)=(1)/((2n−1)(2n+1))=(1)/(2)（(1)/(2n−1)−(1)/(2n+1)）．
则T_n=b₁+b₂+…+b_n=(1)/(2)[（1−(1)/(3)）+（(1)/(3)−(1)/(5)）+…+（(1)/(2n−1)−(1)/(2n+1)）]
=(1)/(2)（1-(1)/(2n+1)）．
则T_n=(n)/(2n+1)；
（2）由于对任意的n∈N⁺，不等式λT_n＜n+8（-1）ⁿ恒成立，
则当n为奇数时，有λT_n＜n-8恒成立，
即有λ＜((n−8)(2n+1))/(n)=2n-(8)/(n)-15，
由于2n-(8)/(n)-15在n≥1上递增，则n=1取得最小值，且为-21，
则λ＜-21；
当n为偶数时，有λT_n＜n+8恒成立，
即有λ＜((n+8)(2n+1))/(n)=2n+(8)/(n)+17，
由于2n+(8)/(n)+17≥2√(2n•(8)/(n))+17=25，当且仅当n=2，取得最小值，且为25．
则λ＜25．
由于对任意的n∈N⁺，不等式恒成立，则λ＜-21．
则实数λ的取值范围是（-∞，-21）．