在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=（a-1）x2+2x+1与x轴有交点，a为正整数．（1）求a的值．（2）将二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图象向右平移m个单位，向下平移m2+1个单位，当-2≤x≤1时，二次函

Question

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=（a-1）x²+2x+1与x轴有交点，a为正整数．

（1）求a的值．
（2）将二次函数y=（a-1）x²+2x+1的图象向右平移m个单位，向下平移m²+1个单位，当-2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值．

Answer 1

（1）∵二次函数y=（a-1）x²+2x+1与x轴有交点，
令y=0，则（a-1）x²+2x+1=0，
∴△=4-4（a-1）≥0，解得a≤2．
∵a为正整数，
∴a=1、2
又∵y=（a-1）x²+2x+1是二次函数，∴a-1≠0，∴a≠1，
∴a的值为2．
（2）∵a=2，
∴二次函数表达式为y=x²+2x+1，将二次函数y=x²+2x+1化成顶点式y=（x+1）²，二次函数图象向右平移m个单位，向下平移m²+1个单位后的表达式为y=（x+1-m）²-（m²+1）．此时函数的顶点坐标为（m-1，-m²-1）．
当m-1<-2，即m<-1时，x=-2时，二次函数有最小值-3，
∴-3=（-1-m）²-（m²+1），解得m=-(3)/(2)且符合题目要求．
当-2≤m-1≤1，即-1≤m≤2，时，当 x=m-1时，二次函数有最小值-m²-1=-3，
解得m=±√(2)．
∵m=-√(2)不符合-1≤m≤2的条件，舍去．
∴m=√(2)．
当m-1>1，即m>2时，当 x=1时，二次函数有最小值-3，
∴-3=（2-m）²-（m²+1），解得m=(3)/(2)，不符合m>2的条件舍去．
综上所述，m的值为-(3)/(2)或√(2)．