在△ABC中,cos三次方x+cos(x+A)cos(x+B)cos(x+C)=0,求证tanx=cotA+cotB+cotC

题目详情

▼优质解答

答案和解析

易知cosx及sinx都不为0,则已知式等价于
cos(x+A)/cosx*cos(x+B)/cosx*cos(x+C)/cosx+1=0
等价于
(cosA-tanxsinA)(cosB-tanxsinB)(cosC-tanxsinC)+1=0
等价于
(tanx-cotA)(tanx-cotB)(tanx-cotC)=1/(sinAsinBsinC)
下证1/(sinAsinBsinC)=(cotA+cotB)(cotB+cotC)(cotC+cotA):
右边等价于
(cotA+cotB+cotC)(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)-cotAcotBcotC
又由三角形中的三角恒等式
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
知右边等价于
cotA+cotB+cotC-cotAcotBcotC
等价于
(cosAsinBsinC+cosBsinCsinA+cosCsinAsinB-cosAcosBcosC)/(sinAsinBsinC)
因此只需证
cosAsinBsinC+cosBsinCsinA+cosCsinAsinB-cosAcosBcosC=1
而事实上
cosAsinBsinC+cosBsinCsinA+cosCsinAsinB-cosAcosBcosC
=cosA(sinBsinC-cosBcosC)+sinA(cosBsinC+cosCsinB)
=cos²A+sin²A
=1
成立,所以1/(sinAsinBsinC)=(cotA+cotB)(cotB+cotC)(cotC+cotA)式得证.
因此得到
(tanx-cotA)(tanx-cotB)(tanx-cotC)=(cotA+cotB)(cotB+cotC)(cotC+cotA)
等价于
(tan²x+cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)(tanx-(cotA+cotB+cotC))=0
再次利用那个恒等式,即等价于
(tan²+1)(tanx-(cotA+cotB+cotC))=0
因此必有
tanx=cotA+cotB+cotC

看了在△ABC中,cos三次方x...的网友还看了以下：

集合A={x|f(x)=x},B={x|f[f(x)]=x},求证集合A等于集合B集合A属于集合B 　2020-04-26 …

证集合A={x x=2n+1 n属于Z}集合B={x x=4n+-1N属于Z}证明A=B虽然我懂先　2020-05-15 …

一道数学集合证明题.已知集合A=X/ X=2K+1（K属于Z）B=X/ X=4K+1（k属于Z）　2020-05-16 …

求证：函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)关于x=0对称,其中x∈R求证：函数y=f(a+x 　2020-05-16 …

两道函数周期问题怎么求证?若f(x)是奇函数,且等式f(a+x)=f(a-x)对一切x∈R均成立, 　2020-06-02 …

问一道高一指数函数的题目(1)求证：f(x)=(a^x-a^-x)/2(a＞0,且a≠1)是奇函数　2020-06-09 …

F(x+T)=KF(x),F(x)=g(x)*a^x.证g(x)为周期为T函数　2020-06-12 …

已知f(x)=a^x-1/a^x(其中a>1,x∈R)（1）判断并证明f(x)的奇偶性与单调性已知　2020-06-14 …

刚才谢谢你了,能再问你一题吗?（a）证明cotA-cot2A=cosecA（b）试以cotA和cot 　2020-11-15 …

如果函数y=f(x)的图象关于x=a和x=b都对称,证明这个函数满足f[2(a-b)+x]=f(x) 　2020-11-19 …

相关搜索：x cotC 在△ABC中 =0 cotB 求证tanx=cotA cos cos三次方x A B C