点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT且PT=1,角PAB=a,问a为何值时四边形ABPT面积最大?

Answer 1

连结AP,AB为直径,则∠APB=90°
设圆心为O,连结OP,则OA=OP,所以∠PAO=∠APO=a
PT是圆的切线,则OP⊥PT,所以∠APT=90°-a
AB=1,PT=1
所以,AP=ABcosa=1*cosa=cosa
S△ABP=1/2*AB*APsina=sinacosa/2=sin2a/4
S△APT=1/2*PA*PTsin（90°-a）=cos²a/2=2cos²a/4=（cos2a+1）/4
所以
S四边形ABPT
=S△ABP+S△APT
=sin2a/4+（cos2a+1）/4
=(sin2a+cos2a+1)/4
=[√2*sin（2a+45°）+1]/4
≤（1+√2)/4
当且仅当sin（2a+45°）=1,2a+45°=90°,a=22.5°时取等号
所以,当a=22.5°,四边形ABPT面积最大,最大值为（1+√2)/4