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Xn+1=(4Xn+3)/(Xn+2) 其中X1=2 求证 Xn递增 且小于3
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Xn+1=(4Xn+3)/(Xn+2) 其中X1=2 求证 Xn递增 且小于3
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答案和解析
由于X1=2大于0,不难得到Xn是大于0的,用Xn+1减去Xn,得到Xn+1-Xn=（3Xn+1）/（Xn+2）=
3-（5/(Xn+2)）由于Xn+2大于2,所以5/(Xn+2)小于2.5,所以,3-（5/(Xn+2)）大于3-2.5大于0,所以,Xn是递增的.
另外,要想证明Xn+1小于3,即是要证明(4Xn+3)/(Xn+2) 小于3,左边化解为,4-（5/(Xn+2)）,就有了要证明1小于5/(Xn+2),因为Xn+2大于2,所以代数式Xn+2乘除无障碍,要证1小于5/(Xn+2)化为要证Xn小于3,于是,递推下去,最后要证X1小于3即可,显然题目中已经给出了X1小于3.
3-（5/(Xn+2)）由于Xn+2大于2,所以5/(Xn+2)小于2.5,所以,3-（5/(Xn+2)）大于3-2.5大于0,所以,Xn是递增的.
另外,要想证明Xn+1小于3,即是要证明(4Xn+3)/(Xn+2) 小于3,左边化解为,4-（5/(Xn+2)）,就有了要证明1小于5/(Xn+2),因为Xn+2大于2,所以代数式Xn+2乘除无障碍,要证1小于5/(Xn+2)化为要证Xn小于3,于是,递推下去,最后要证X1小于3即可,显然题目中已经给出了X1小于3.
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