依次求（1）证明方程e^x+x^(2n+1)=0有唯一的实根Xn（2）证明limn→∞Xn存在并且求其值A（3）证明当n→∞时,Xn-A与1/n是同阶无穷小

Question

依次求（1）证明方程e^x+x^(2n+1)=0有唯一的实根Xn （2）证明limn→∞ Xn存在并且求其值A
（3）证明当n→∞时,Xn-A与1/n是同阶无穷小

Answer 1

(1)令f(x)=e^x+x^(2n+1).可得f'(x)=e^x+(2n+1)*x^(2n),f'(x)>0.所以这是一个单调增函数,而容易看出来,当x为负值时,如x=-1,f(x)0时,f(x)>0.所以在（-1,0)之间 必有唯一的实根Xn.
(2)先证明Xn随着n增大递减,如假设n=k时,有e^(Xk)+(Xk)^(2k+1)=0,当我们取n'=k+1时,有方程e^(Xk)+(Xk)^(2n'+1)>0(因为(Xk)^(2n'+1)> (Xk)^(2k+1).) 所以,可知,应有Xn‘