求证:N是4的倍数已知X1、X2、…、Xn都是+1或-1,n>或=4,并且满足X1*X2*X3*X4+X2*X3*X4*X5+…+Xn*X1*X2*X3=0求证：n是4的倍数.

Question

求证:N是4的倍数
已知X1、X2、…、Xn都是+1或-1,n>或=4,并且满足
X1*X2*X3*X4+X2*X3*X4*X5+…+Xn*X1*X2*X3=0
求证：n是4的倍数.

Answer 1

证 我们先证明n=2k为偶数,再证k也是偶数．
由于x1,x2,…,xn.的绝对值都是1,所以,x1x2,x2x3,…,xnx1的绝对值也都是1,即它们或者为+1,或者为-1．设其中有k个-1,由于总和为0,故+1也有k个,从而n=2k．
下面我们来考虑(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)．一方面,有(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)＝(-1)k,
另一方面,有
(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)=(x1x2…xn)2=1．
所以(-1)k=1,故k是偶数,从而n是4的倍数．