已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A（-4，3）．（1）若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．（2）在（1）的条件下，若点P为椭圆上一点，且满足∠F1PF2=120°，求△PF1F2的面积．

Question

已知椭圆的中心在原点，两焦点F₁，F₂在x轴上，且过点A（-4，3）．
（1）若F₁A⊥F₂A，求椭圆的标准方程．
（2）在（1）的条件下，若点P为椭圆上一点，且满足∠F₁PF₂=120°，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

（1）∵F₁A⊥F₂A，∴（-4+c，3）•（-4-c，3）=0，
化为16-c²+9=0，解得c=5，∴a²=b²+25，
∵过点A（-4，3），
∴(16)/(a2)+(9)/(b2)=1．
∴解得a²=40，b²=15．
故所求椭圆的标准方程为(x2)/(40)+(y2)/(15)=1．
（2）∵点P为椭圆上一点，F₁、F₂是焦点，
∴根据椭圆的定义，得PF₁+PF₂=2a=4√(10)…①
又∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=120°且F₁F₂=2c=10
∴根据余弦定理，得F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos120°=100
即PF₁²+PF₂²+PF₁•PF₂=100…②
∴①②联解，得PF₁•PF₂=60
根据正弦定理，得△PF₁F₂的面积为：S=(1)/(2)PF₁•PF₂sin120°=15√(3)．