已知椭圆M:x^2/a^2y^2/b^2=1(a>b>0)的短半轴长b=1,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为周长为6+4更号2.(1)求椭圆M的方程.（2）设直线l:y=my+t与椭圆M交于AB两点,若以AB为直径的圆经过

Question

已知椭圆M:x^2/a^2 y^2/b^2=1(a>b>0)的短半轴长b=1,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为
周长为6+4更号2.(1)求椭圆M的方程.（2）设直线l:y=my+t与椭圆M交于AB两点,若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C ,求t的值.

Answer 1

(1) 椭圆上一点P　及椭圆两焦点F1,F2
则PF1+PF2=2a
三角形PF1F2周长=PF1+PF2+F1F2=6+4根号2 =2a+F1F2
=2a+2c =2a+2根号(a^2-1)
所以a=3
所以x^2/9+y^2=1
(2)C(3,0)
y=mx+t
x^2+m^2 x^2+2mtx+t^2-1=0
(1+m^2)x^2+2mtx+t^2-1=0
x1+x2=-2mt/(1+m^2) x1*x2=(t^2-1)/(1+m^2) ...(1)
AB中点O就是圆心O((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
OC就是半径
OC^2=((x1+x2)/2 -3)^2+((y1+y2)/2)^2 .(2)
AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 ...(3)
4OC^2=AB^2 ...(4)
y1+y2=m(x1+x2)+2t .(5)
x1-x2 可以用(1)求得 ...(6)
由(1)-(6)可以求出t.