求所有正整数n,使得n(n+1)/2–3n为质数

Question

求所有正整数n,使得n(n+1)/2–3n为质数

Answer 1

此处先声明,质数不考虑负数.如果需要考虑,
先因式分解.
n(n+1)/2-3n=n(n-5)/2
注意到,
n与n-5的奇偶性不同,因而它们之间必然有一个是2的倍数.
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分类讨论：
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设n=2k
那么n(n-5)/2=k(2k-5)
质数只有1以及本身作为因数,
那么k=1或2k-5=1
当k=1时,2k-5=-3（舍）
因而2k-5=1
k=3,于是n=6,此时n(n+1)/2–3n=3
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设n=2k+1
那么n(n-5)/2=(2k+1)(k-2)
质数只有1以及本身作为因数,
而k-2