已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若方程f（x）=-(2a+3)29恰好有两个不同的根，求f（x）的解析式；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中

Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若方程f（x）=-((2a+3)2)/(9)恰好有两个不同的根，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的函数f（x），对任意α，β∈R，求证：|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤81．

Answer 1

（I）由题意，f（0）=0，
∴c=0，
则f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b，且f′（1）=0．
即3+2a+b=0
∴b=-2a-3，
∴f′（x）=3x²+2ax-2a-3=3（x-1）（x+(2a+3)/(3)），
因为当x=1时取得极大值，
所以(2a+3)/(3)＜-1，即a＜-3；
所以a的取值范围为（-∞，-3）．
（II）由下表：

x	（-∞，1）	1	（1，-(2a+3)/(3)）	-(2a+3)/(3)	（--(2a+3)/(3)，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	-
f（x）	递增	极大值-a-2	递减	极小值(a+6)/(27)(2a+3)2	递增

依题意得：(a+6)/(27)(2a+3)2=-((2a+3)2)/(9)或-a-2=-((2a+3)2)/(9)，
又由a＜-3解得：a=-9．
所以函数f（x）=x³-9x²+15x．
（III）对任意的实数α，β都有-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，
在区间[-2，2]有：f（-2）=-74，f（2）=2，f（1）=7；
因此f（x）_最大值=7，f（x）_最小值=-74．
所以|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤7-（-74）=81．