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已知f（x）均是连续函数）,证明：∫(0,2a)f(x)dx=∫(0,a)[f(x)+f(2a-x)]dx.
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已知f（x）均是连续函数）,证明：∫(0,2a)f(x)dx=∫(0,a)[f(x)+f(2a-x)]dx.
▼优质解答
答案和解析
令t=2a-x,则x:0→a,有t:2a→a.又dt= -dx,即dx=-dt.
∫(0,a)f(2a-x)dx= -∫(2a,a)f(t)dt= -∫(2a,a)f(x)dx=∫(a,2a)f(x)dx
所以,∫(0,a)[f(x)+f(2a-x)]dx=,∫(0,a)f(x)dx+∫(0,a)f(2a-x)dx=∫(0,a)f(x)dx+∫(a,2a)f(x)dx=∫(0,2a)f(x)dx
故∫(0,2a)f(x)dx=∫(0,a)[f(x)+f(2a-x)]dx
∫(0,a)f(2a-x)dx= -∫(2a,a)f(t)dt= -∫(2a,a)f(x)dx=∫(a,2a)f(x)dx
所以,∫(0,a)[f(x)+f(2a-x)]dx=,∫(0,a)f(x)dx+∫(0,a)f(2a-x)dx=∫(0,a)f(x)dx+∫(a,2a)f(x)dx=∫(0,2a)f(x)dx
故∫(0,2a)f(x)dx=∫(0,a)[f(x)+f(2a-x)]dx
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