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已如f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x.若在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则实数a的取值范围是()A.(25,23)B.

题目详情
已如f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x.若在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则实数a的取值范围  是(  )

A.(
2
5
2
3
)
B.(
2
5
,+∞)
C.(0,
2
3
)
D.(0,
2
5
)
▼优质解答
答案和解析
若在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,等价为f(x)=a(x+2)有四个不相等的实数根,
即函数f(x)和g(x)=a(x+2),有四个不相同的交点,
∵f(x+2)=f(x),∴函数的周期是2,
当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,此时f(-x)=-2x,
∵f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(-x)=-2x=f(x),
即f(x)=-2x,-1≤x≤0,
作出函数f(x)和g(x)的图象,
当g(x)经过A(1,2)时,两个图象有3个交点,此时g(1)=3a=,解得a=
2
3

当g(x)经过B(3,2)时,两个图象有5个交点,此时g(3)=5a=2,解得a=
2
5

要使在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,
2
5
<a<
2
3

故选:A.
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