如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn）是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐

Question

如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐标原点）．则a₁=______；猜想a_n关于n的表达式为______．

Answer 1

y=√(3)x  ①
y²=3x    ②
∴P1(1，√(3))
∴a₁=2，
依题意，得 xn＝(an−1+an)/(2)，yn＝√(3)•(an−an−1)/(2)，
由此及y_n²=3x_n得 (√(3)•(an−an−1)/(2))2＝(3)/(2)(an−1+an)，
即（a_n-a_n-1）²=2（a_n-1+a_n）．
由（1）可猜想：a_n=n（n+1）n∈N^*
故答案为：2；a_n=n（n+1）（n∈N^*）