为什么e^x求导之后还得e^x?

Question

为什么e^x求导之后还得e^x?

Answer 1

证明这个导数公式,应该用导数的定义,并且不可以使用由导数得到的任何结论（例如中值定理、洛必塔法则、泰勒公式等等）,否则证明就变得毫无意义了.
1、先证明当h→0时,(e^h-1)/h→1；
令u=e^h-1,则h=ln(u+1),且h→0 u→0
故当h→0即u→0时,(e^h-1)/h=u/ln(u+1)=1/ln[(u+1)^(1/u)]→1/ln(e)=1
2、用导数的定义就可以得到结果：
(e^x)'是当h→0时,[e^(x+h)-e^x]/h的极限,
因为[e^(x+h)-e^x]/h=(e^x)*(e^h-1)/h→(e^x)*1=e^x（当h→0）
所以(e^x)'=e^x.