不定积分e^3x/(e^4x-1)还有不定积分e^x/根号(1+e^2x)请叙述清楚些好吗?还有这种不定积分1/(x-4)^2dx普遍方法是什么呢？上面有个x就好了--..e^x/根号(1+e^2x)e的x次方除以（1+e的2x次方）的根号e

Question

不定积分e^3x/(e^4x-1)
还有不定积分 e^x/ 根号(1+e^2x)
请叙述清楚些好吗?
还有这种 不定积分 1 / (x-4)^2 dx
普遍方法是什么呢？上面有个x就好了- -..
e^x/ 根号(1+e^2x)
e的x次方 除以 （1+e的2x次方）的根号
e^3x/(e^4x-1)
e的3x次方 除以 e的4x的次方再减 1

Answer 1

这种题都是要利用第一换元法,设u=e^x,则du=e^xdx,然后积分就会转化成一个有理函数积分的问题
∫e^xdx/√(1+e^(2x))
=∫du/√(1+u^2)
=ln|u+√(u^2+1)|+C
=ln|e^x+√(1+e^(2x))|+C
∫dx/(x-4)^2
=∫[1/(x-4)^2]d(x-4)
=-1/(x-4)+C
=1/(4-x)+C
∫e^3xdx/(e^4x-1)
=∫e^2x*e^xdx/(e^4x-1)
=∫u^2du/(u^4-1)
=∫[u^2/(u^2+1)(u^2-1)]du
=∫[(u^2/2)*(1/(u^2-1)-1/(u^2+1))]du
=1/2∫[u^2/(u^2-1)-u^2/(u^2+1)]du
=1/2∫[1+1/(u^2-1)-(1-1/(u^2+1))]du
=1/2∫[1/(u^2-1)+1/(u^2+1)]du
=1/2[(1/2)*ln|(x-1)/(x+1)|+arctanu]+C
=(1/4)*ln|(u-1)/(u+1)|+(1/2)*arctanu+C
=(1/4)*ln|(e^x-1)/(e^x+1)|+(1/2)*arctan(e^x)+C