如何求1/(a*sinx+b*cosx)^2的不定积分?

Question

如何求1/(a*sinx+b*cosx)^2的不定积分?

Answer 1

∫ 1 / (a*sinx+b*cosx)^2 dx
    = ∫ 1 / (a^2+b^2) [a*sinx / √(a^2+b^2) + b*cosx / √(a^2+b^2)]^2 dx
此处要用到高中所学的诱导公式：
令a / √(a^2+b^2) = cosβ       b / √(a^2+b^2) = sinβ
上式= [1 / (a^2+b^2)] ∫ 1 / (sinxcosβ+sinβcosx)^2 dx
       = [1 / (a^2+b^2)] ∫ 1 / sin^2(x+β) dx
       = [1 / (a^2+b^2)] ∫ csc^2(x+β) dx 
       = -[1 / (a^2+b^2)] cot(x+β) + C
将a / √(a^2+b^2) = cosβ       b / √(a^2+b^2) = sinβ代入整理得：
上式=[1 / (a^2+b^2)] * [（bsinx-acosx）/（asinx+bcosx）] + C