一道关于向量组线性的证明题,证明：如果向量b可由向量组a1,a2,...ar线性表示,则表示法是唯一的充分必要条件是向量组a1,a2,...ar线性无关.

Question

一道关于向量组线性的证明题,
证明：如果向量b可由向量组a1,a2,...ar线性表示,则表示法是唯一的充分必要条件是向量组a1,a2,...ar线性无关.

Answer 1

必要性.
已知向量b可由向量组a1,a2,...,ar线性表示,且表示法唯一.设b＝k1a1＋k2a2＋……＋krar.
假设向量组a1,a2,...,ar线性相关,则存在一组不全为零的数t1,t2,……,tr,使得t1a1＋t2a2＋……＋trar＝0
所以,b＝(k1+t1)a1＋(k2+t2)a2＋……＋(kr+tr)ar,因为t1,t2,……,tr不全为零,所以b＝k1a1＋k2a2＋……＋krar与b＝(k1+t1)a1＋(k2+t2)a2＋……＋(kr+tr)ar是两种不同的表示方法,与表示法唯一矛盾.
所以,向量组a1,a2,...,ar线性无关
充分性.
已知向量组a1,a2,...,ar线性无关.假设向量b由向量组a1,a2,...ar线性表示的表示式不唯一,
设b＝m1a1＋m2a2＋……＋mrar与b＝n1a1＋n2a2＋……＋nrar是两种不同的表示,则(m1－n1)a1＋(m2－n2)a2＋……＋(mr－nr)ar＝0,其中m1－n1,m2－n2,……,mr－nr不全为零,所以a1,a2,……,ar线性相关,与已知矛盾.
所以向量b由向量组a1,a2,...ar线性表示的表示法唯一