A是m*n矩阵,r（A）=r,a0a1…an-r是非线性性方程组Ax=B的n-r＋1个线性无关解,证明对应齐次方程组Ax=0的通解为k1（a1-a0）＋k2(a2－a0)＋…kn－r(an－r一a0)

Question

A是m*n矩阵,r（A）=r,a0a1…an-r是非线性性方程组Ax=B的n-r＋1个线性无关解,证明对应齐次方程组Ax=0的通解为k1（a1-a0）＋k2(a2－a0)＋…kn－r(an－r一a0)

Answer 1

因为 a0,a1,…,an-r是非线性性方程组Ax=B的解
所以 a1-a0,...,an-r-a0 是 Ax=0 的解 (解的性质)
又因为 a0,a1,…,an-r 线性无关
所以 a1-a0,...,an-r-a0 线性无关 (直接用定义可证)
由已知 r(A)=r
所以 Ax=0 的基础解系含 n-r 个向量
所以 a1-a0,...,an-r-a0 是 Ax=0 的一个基础解系
所以 Ax=0的通解为k1（a1-a0）＋k2(a2－a0)＋…kn－r(an－r一a0)