空间向量与立体几何题如图矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE平行于CF,角BCF=角CEF=90度,AD=根号3,EF等于2.（1）求证：AE平行于平面DCF;(2)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60度?

Question

空间向量与立体几何题
如图矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE平行于CF,角BCF=角CEF=90度,AD=根号3,EF等于2.（1）求证：AE平行于平面DCF;(2)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60度?

Answer 1

1、∵四边形ABCD是矩形,
∴AB//CD,
∵四边形BEFC是梯形,
∴BE//CF,
∵AB∩BE=B,CD∩CF=C,
∴平面ABE//平面DCF,
∵AE∈平面ABE,
∴AE//平面DCF.
2、在平面CBEF上作EM⊥CF,垂足M,
EM=BC=AD=√3,EF=2,
sin〈EFM=60°.
MF=1,
∵〈CEF=90°,
∴EF/CF=cos60°,
CF=4,
CM=CF-MF=3,
BE=CM=3
BF^2=BC^2+CF^2,
BF=√19,
延长FE,作BH⊥FE,交于H,
连结AH,
根据三垂线定理,
AH⊥FE,
则〈AHB就是二面角A-EF-C的平面角,
〈BEH=〈CFE=60°,
BH/BE=sin60°,
BH=3√3/2,
〈AHB=60°,
tan60°=AB/BH,
∴AB=√3*3√3/2=9/2,
即当AB的长为9/2时,二面角A-EF-C的大小为60度.