数学题,函数奇偶性问题,单调性问题已知函数f(x)在（-1,1）上有定义,f(0.5)=-1,当且仅当0＜x＜1时,f(x）＜0,且对任意x,y属于（-1,1）都有f（x）+f(y)=f((x+y)/(1+xy)),试证明：f(x)为奇函数,在（-1,1）上单

Question

数学题,函数奇偶性问题,单调性问题
已知函数f(x)在（-1,1）上有定义,f(0.5)=-1,当且仅当0＜x＜1时,f(x）＜0,且对任意x,y属于（-1,1）都有f（x）+f(y)=f((x+y)/(1+xy)),试证明：f(x)为奇函数,在（-1,1）上单调递减.

Answer 1

令x=y=0,
代入f（x）+f(y)=f((x+y)/(1+xy)),
解得f(0)=0.
令y=-x,
再代入f（x）+f(y)=f((x+y)/(1+xy)),
得f(x)+f(-x)=f(0)=0.
由此得f(x)=-f(-x).
所以f(x)为奇函数