在平面直角坐标系x0y中,抛物线y=x2+bx+c与X轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)与Y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)在平面直角坐标系x0y中,抛物线y=x2+bx+c与X轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与Y轴交于点C

Question

在平面直角坐标系x0y中,抛物线y=x2+bx+c与X轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)与Y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)
在平面直角坐标系x0y中,抛物线y=x2+bx+c与X轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）
与Y轴交于点C,点B的坐标为（3,0）,将直线y=kx沿Y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点.
⑴求直线BC及抛物线的解析式：
⑶连接CD,求角OCA与角OCD两角和的度数.
⑵设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且角APD=角ACB,求点P的坐标：

Answer 1

：（1）∵y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C,
∴C（0,3）．
设直线BC的解析式为y=kx+3．
∵B（3,0）在直线BC上,
∴3k+3=0．
解得k=-1．
∴直线BC的解析式为y=-x+3．
∵抛物线y=x2+bx+c过点B,C,
∴
9+3b+c=0c=3​
解得
b=-4c=3​
,
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3．
（2）由y=x2-4x+3．
可得D（2,-1）,A（1,0）．
∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2．
可得△OBC是等腰直角三角形,
∴∠OBC=45°,CB=3
2
．
如图1,设抛物线对称轴与x轴交于点F,
∴AF=
12
AB=1．
过点A作AE⊥BC于点E．
∴∠AEB=90度．
可得BE=AE=
2
,CE=2
2
．
在△AEC与△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF,
∴△AEC∽△AFP．
∴
AEAF
=
CEPF
,
21
=
2
2PF
．
解得PF=2．∵点P在抛物线的对称轴上,
∴点P的坐标为（2,2）或（2,-2）
如图2,作点A（1,0）关于y轴的对称点A',则A'（-1,0）．
连接A'C,A'D,
可得A'C=AC=10,∠OCA'=∠OCA．
由勾股定理可得CD2=20,A'D2=10．
又∵A'C2=10,
∴A'D2+A'C2=CD2．
∴△A'DC是等腰直角三角形,∠CA'D=90°,
∴∠DCA'=45度．
∴∠OCA'+∠OCD=45度．
∴∠OCA+∠OCD=45度．
即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45度