如图,在平面直角坐标系xOy,已知抛物线的对称轴为y轴,经过(0,1),(-4,5)两点1 求该抛物线的表达式2 已知点F的坐标（0,2）,设抛物线上任意一点P的横坐标为x0,作PM垂直于x轴于点M,联接PF,用含x0的式

Question

如图,在平面直角坐标系xOy,已知抛物线的对称轴为y轴,经过(0,1),(-4,5)两点
1 求该抛物线的表达式
2 已知点F的坐标（0,2）,设抛物线上任意一点P的横坐标为x0,作PM垂直于x轴于点M,联接PF,用含x0的式子表示出线段PM与线段PF,并比较PM与PF的大小
3 设经过点F的直线PQ交此抛物线于另一点Q,试判断以PQ为直径的圆与x轴的位置关系,说明理由

Answer 1

1.设抛物线方程为y=ax²+c (这是对称轴在y轴的抛物线方程)
代入(0,1)(-4,5)得
1=c 5=16a+1 a=1/4
抛物线方程为y=x²/4+1
2.P点横坐标为x0,可以计算出y=x0²/4+1
M点的坐标为(x0,0)
PM=|y|=|x0²/4+1|
PF²=x0²+(x0²/4-1)²=x0²+x0^4/16-x0²/2+1=x0^4/16+x0²/2+1
PM²=x0^4/16+x0²/2+1
PF=PM
3.可以计算出这个抛物线的准线,因为它的方程为
x²=2*2y+4 p=2 说明焦点为(0,2)
准线为x=0
这样就说明PQ为直径的园与X轴是相切的.