已知抛物线y=ax²-2ax-3与x轴交于A(-1,0)和B两点,与y轴交于点c,其顶点为M.1,求a的值和M点的坐标；2,将原抛物线平移,使其顶点在射线CB上,且A的对应点为A'点,若S△A'AC＝9,求平移后的抛物线的解析

Question

已知抛物线y=ax²-2ax-3与x轴交于A(-1,0)和B两点,与y轴交于点c,其顶点为M.
1,求a的值和M点的坐标；
2,将原抛物线平移,使其顶点在射线CB上,且A的对应点为A'点,若S△A'AC＝9,求平移后的抛物线的解析式
3,如图2,将原抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方得到新图像,当直线y=kx-2k+5与新图像有三个公共点时,求k的值.

Answer 1

1. 代入A(-1, 0): 0 = a + 2a - 3, a = 1
y = x² - 2x - 3 = (x - 1)² - 4
M(1, -4)
2. y = x² - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)
B(3, 0)
C(0, -3)
设新的抛物线是由原抛物线向右平移p (p > 0, 顶点M'在射线CB上), 向上平移q得到的; 解析式为:
y - q = (x - p +1)(x - p -3)   (即在原式中用x-p取代x, 用y-p取代y)
A'(-1+p, q)
M'(1+p, -4+q)
AC =  √[(-1-0)² + (0 + 3)²] = √10
CB的解析式: x/3 + y/(-3) = 1, y = x -3
M'在射线CB上: -4+q = 1+p -3, q = p+2
A'(-1+p, p+2)
AC的解析式: x/(-1) + y/(-3) = 1, 3x + y + 3 = 0
A'与AC的距离d = |3(-1+p) + p+2 +3|/√(3² + 1²) = |4p+2|/√10 = (4p+2)/√10
S△A'AC＝9 = (1/2)*AC*d = (1/2)*√10*(4p+2)/√10 = 2p + 1
p = 4
q =6
新抛物线的解析式: y - 6 = (x-7)(x-3)
y = x² - 10 x + 27
3. 
将原抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方得到新图像的解析式: y = -x² + 2x + 3 (-1< x < 3)
显然直线y=kx-2k+5过定点D(2, 5)
想象过D的直线从与x轴平行的位置开始顺时针绕D旋转, 开始时与原抛物线在x轴以上的部分有两个交点,直至过B点. 此后开始与翻折部分有交点. 旋转到过A时, 有3个交点(A, 翻折部分, 原抛物线在x轴以上的部分), 此时 k = (5-0)/(2+1) = 5/3
此后, 有4个交点(翻折部分2个; 原抛物线在x轴以上的部分2个), 直至与翻折部分相切. 联立y = -x² + 2x + 3与直线y=kx-2k+5:
x² +(k-2)x + 2(1-k) = 0
△ = (k-2)² - 4*2(1-k) = k² + 4k -4 = 0
k = -2+2√2
k = -2-2√2 (自己证明,切点的横坐标x > 3, 舍去)
 5/3或-2+2√2