如图，抛物线y=12x2+bx+c经过A（-1，0），C（2，-3）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若将此抛物线平移，使其顶点为点D，需如何平移？写

Question

如图，抛物线y=(1)/(2)x²+bx+c经过A（-1，0），C（2，-3）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若将此抛物线平移，使其顶点为点D，需如何平移？写出平移后抛物线的解析式；
（3）过点P（m，0）作x轴的垂线（1≤m≤2），分别交平移前后的抛物线于点E，F，交直线OC于点G，求证：PF=EG．

Answer 1

（1）把A（-1，0），C（2，-3）代入y=(1)/(2)x²+bx+c，
得：

(1)/(2)−b+c＝0

2+2b+c＝−3

，解得：

b＝−(3)/(2)

c＝−2

，
∴抛物线的解析式为：y=(1)/(2)x²-(3)/(2)x-2，
∵y=(1)/(2)x²-(3)/(2)x-2=(1)/(2)（x-(3)/(2)）²-(25)/(8)，
∴其顶点坐标为：（(3)/(2)，−(25)/(8)）；

（2）∵y=(1)/(2)x²-(3)/(2)x-2，
∴当x=0时，y=-2，
∴D点坐标为（0，-2）．
∵将点（(3)/(2)，−(25)/(8)）向左平移(3)/(2)个单位长度，再向上平移(9)/(8)个单位长度，可得到点D，
∴将y=(1)/(2)x²-(3)/(2)x-2向左平移(3)/(2)个单位长度，再向上平移(9)/(8)个单位长度，顶点为点D，
此时平移后的抛物线解析式为：y=(1)/(2)x²-2；

（3）证明：设直线OC的解析式为y=kx，
∵C（2，-3），
∴2k=-3，解得k=-(3)/(2)，
∴直线OC的解析式为y=-(3)/(2)x．
当x=m时，y_F=(1)/(2)m²-2，则PF=-（(1)/(2)m²-2）=2-(1)/(2)m²，
当x=m时，y_E=(1)/(2)m²-(3)/(2)m-2，y_G=−(3)/(2)m，
则EG=y_G-y_E=2-(1)/(2)m2，
∴PF=EG．