如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点为A（0,根号2）,且离心率等于√3/2,过点M（0,2）的直线L与椭圆相交于不同两点P,Q,点N在线段PQ上1）求椭圆的标准方程2）设PM/PN=MQ/NQ=

Question

如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点为A（0,根号2）,且离心率等于√3/2,过点M（0,2）的直线L与椭圆相交于不同两点P,Q,点N在线段PQ上
1）求椭圆的标准方程
2）设PM/PN=MQ/NQ=λ,求λ的范围

Answer 1

分析：
（Ⅰ）设椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0),由题意知b²=2,a²=8,所以椭圆的标准方程为x²/8+y²/2=1．
（Ⅱ）设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,N（x0,y0）,若直线l与y轴重合,则｜PM｜/｜PN｜=｜MQ｜/｜NQ｜ =﹙2-√2﹚/﹙√2-y0﹚=﹙2+√2﹚/﹙√2+y0﹚ ,得y0=1,得λ=√2 ．若直线l与y轴不重合,则设直线l的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0,得x1+x2=-16k/﹙1+4k²﹚①,x1x2=8/﹙1+4k²﹚② ．由此可知λ的取值范围．
（Ⅰ）设椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)
因为它的一个顶点为A（0,√2）,
所以b²=2,
由离心率等于√3/2,
得 √[﹙a²-b²﹚/a²]=√3/2,
解得a²=8,
所以椭圆的标准方程为x²/8+y²/2=1
（Ⅱ）设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,N（x0,y0）,
若直线l与y轴重合,
则｜PM｜/｜PN｜=｜MQ｜/｜NQ｜=﹙2-√2﹚/﹙√2-y0﹚=﹙2+√2﹚/﹙√2+y0﹚,
得y0=1,得λ= 2 .
若直线l与y轴不重合,
则设直线l的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0,
得x1+x2=-16k/﹙1+4k²﹚①,x1x2=8/﹙1+4k²﹚②,
由｜PM｜/｜PN｜=｜MQ｜/｜NQ｜得﹙0-x1﹚/﹙x1-x0﹚=﹙0-x2﹚/﹙x0-x2﹚ ,
整理得2x1x2=x0（x1+x2）,将①②代入得x0=-1/k,又点N（x0,y0）在直线l上,
所以y0=k×(-1/k )+2=1,于是有1＜y1＜√2 ,
因此λ=﹙2-y1﹚/﹙y1-1﹚=﹙1-y1+1﹚/﹙y1-1﹚=[1/﹙y1-1﹚]-1,
由1＜y1＜√2,得1/（y1-1﹚＞√2+1,
所以λ＞√2 ,综上所述,有λ≥√2
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,