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如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点为A(0,根号2),且离心率等于√3/2,过点M(0,2)的直线L与椭圆相交于不同两点P,Q,点N在线段PQ上1)求椭圆的标准方程2)设PM/PN=MQ/NQ=
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如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点为A(0,根号2),且离心率等于√3/2,过点M(0,2)的直线L与椭圆相交于不同两点P,Q,点N在线段PQ上
1)求椭圆的标准方程
2)设PM/PN=MQ/NQ=λ,求λ的范围
1)求椭圆的标准方程
2)设PM/PN=MQ/NQ=λ,求λ的范围
▼优质解答
答案和解析
分析:
(Ⅰ)设椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),由题意知b²=2,a²=8,所以椭圆的标准方程为x²/8+y²/2=1.
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),若直线l与y轴重合,则|PM|/|PN|=|MQ|/|NQ| =﹙2-√2﹚/﹙√2-y0﹚=﹙2+√2﹚/﹙√2+y0﹚ ,得y0=1,得λ=√2 .若直线l与y轴不重合,则设直线l的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立消去y得(1+4k²)x²+16kx+8=0,得x1+x2=-16k/﹙1+4k²﹚①,x1x2=8/﹙1+4k²﹚② .由此可知λ的取值范围.
(Ⅰ)设椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
因为它的一个顶点为A(0,√2),
所以b²=2,
由离心率等于√3/2,
得 √[﹙a²-b²﹚/a²]=√3/2,
解得a²=8,
所以椭圆的标准方程为x²/8+y²/2=1
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),
若直线l与y轴重合,
则|PM|/|PN|=|MQ|/|NQ|=﹙2-√2﹚/﹙√2-y0﹚=﹙2+√2﹚/﹙√2+y0﹚,
得y0=1,得λ= 2 .
若直线l与y轴不重合,
则设直线l的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立消去y得(1+4k²)x²+16kx+8=0,
得x1+x2=-16k/﹙1+4k²﹚①,x1x2=8/﹙1+4k²﹚②,
由|PM|/|PN|=|MQ|/|NQ|得﹙0-x1﹚/﹙x1-x0﹚=﹙0-x2﹚/﹙x0-x2﹚ ,
整理得2x1x2=x0(x1+x2),将①②代入得x0=-1/k,又点N(x0,y0)在直线l上,
所以y0=k×(-1/k )+2=1,于是有1<y1<√2 ,
因此λ=﹙2-y1﹚/﹙y1-1﹚=﹙1-y1+1﹚/﹙y1-1﹚=[1/﹙y1-1﹚]-1,
由1<y1<√2,得1/(y1-1﹚>√2+1,
所以λ>√2 ,综上所述,有λ≥√2
点评:本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,
(Ⅰ)设椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),由题意知b²=2,a²=8,所以椭圆的标准方程为x²/8+y²/2=1.
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),若直线l与y轴重合,则|PM|/|PN|=|MQ|/|NQ| =﹙2-√2﹚/﹙√2-y0﹚=﹙2+√2﹚/﹙√2+y0﹚ ,得y0=1,得λ=√2 .若直线l与y轴不重合,则设直线l的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立消去y得(1+4k²)x²+16kx+8=0,得x1+x2=-16k/﹙1+4k²﹚①,x1x2=8/﹙1+4k²﹚② .由此可知λ的取值范围.
(Ⅰ)设椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
因为它的一个顶点为A(0,√2),
所以b²=2,
由离心率等于√3/2,
得 √[﹙a²-b²﹚/a²]=√3/2,
解得a²=8,
所以椭圆的标准方程为x²/8+y²/2=1
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),
若直线l与y轴重合,
则|PM|/|PN|=|MQ|/|NQ|=﹙2-√2﹚/﹙√2-y0﹚=﹙2+√2﹚/﹙√2+y0﹚,
得y0=1,得λ= 2 .
若直线l与y轴不重合,
则设直线l的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立消去y得(1+4k²)x²+16kx+8=0,
得x1+x2=-16k/﹙1+4k²﹚①,x1x2=8/﹙1+4k²﹚②,
由|PM|/|PN|=|MQ|/|NQ|得﹙0-x1﹚/﹙x1-x0﹚=﹙0-x2﹚/﹙x0-x2﹚ ,
整理得2x1x2=x0(x1+x2),将①②代入得x0=-1/k,又点N(x0,y0)在直线l上,
所以y0=k×(-1/k )+2=1,于是有1<y1<√2 ,
因此λ=﹙2-y1﹚/﹙y1-1﹚=﹙1-y1+1﹚/﹙y1-1﹚=[1/﹙y1-1﹚]-1,
由1<y1<√2,得1/(y1-1﹚>√2+1,
所以λ>√2 ,综上所述,有λ≥√2
点评:本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,
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