设向量β可由α1,α2,...,αr线性表示,但不能由α1,α2,...,αr-1线性表示证明向量组α1,α2,...,αr-1,β与向量组α1,α2,...,αr-1,αr等价.麻烦老师解答尽量详细点

Question

设向量β可由α1,α2,...,αr线性表示,但不能由α1,α2,...,αr-1线性表示
证明向量组α1,α2,...,αr-1,β与向量组α1,α2,...,αr-1,αr等价.
麻烦老师解答尽量详细点

Answer 1

由已知, 只需证 αr 可由 α1,α2,...,αr-1,β 线性表示
因为 β可由α1,α2,...,αr线性表示
所以 β = k1α1+k2α2+...+krαr线性表示
又因为 β不可由α1,α2,...,αr-1线性表示
所以 kr≠0
所以 αr = (1/kr)(β - k1α1-k2α2-...-kr-1αr-1)
即有 αr 可由 α1,α2,...,αr-1,β 线性表示
命题得证.