∑是z=根号(a^2-x^2-y^2)a>0在圆锥z=根号(x^2+y^2)里的部分求∫∫∑zds

Question

∑是z=根号(a^2-x^2-y^2)a>0在圆锥z=根号(x^2+y^2)里的部分求∫∫∑zds

Answer 1

被积曲面方程z=(a^2-x^2-y^2)^(1/2),则z'x=-2x/2(a^2-x^2-y^2)^(1/2)=-x/z,同理z'y=-y/z,所以[1+(z'x)^2+(z'y)^2]^(1/2)=(1+x^2/z^2+y^2/z^2)^(1/2)=a/z,所以积分=∫∫z[1+(z'x)^2+(z'y)^2]^(1/2)dz=a∫∫dxdy,而∫∫dxdy等于被积曲面在xoy平面上投影的面积,将两方程联立,得x^2+y^2=a^2/2,即投影圆半径的平方=a^2/2,面积=πa^2/2,所以原积分=πa^3/2