一个复数求导的问题f(z)=z*exp(a*cos(α)+b*sin(α)),z是复数,α是z的复角,a、b是常数,那么f(z)对z求导df/dz=?先说好,认为df/dz=exp(a*cos(α)+b*sin(α))的不要瞎说哦!z是个复数，就应当是z(x,y)=x+i*y或z(λ,α)=A*

Question

一个复数求导的问题
f(z)=z*exp(a*cos(α)+b*sin(α)),z是复数,α是z的复角,a、b是常数,那么f(z)对z求导df/dz=?
先说好,认为df/dz=exp(a*cos(α)+b*sin(α))的不要瞎说哦!
z是个复数，就应当是 z(x,y)=x+i*y 或 z(λ,α)=A*exp（λ+i*α） 或 z=A*cosα＋i*A*sinα 的形式，
那么，认为 dz/dx=1;dz/dy=i 或 dz/dλ==A*exp(λ+i*α);dz/dα=A*exp(i) 或 dz/dα=-A*sinα+i*A*cosα=i*(A*cosα＋i*A*sinα)=i*z
应当是错误的吧？？

Answer 1

令 z＝mcosα＋nsinα,则 z’＝dz/dα＝ncosα－msinα
那么,df/dz＝(df/dα)/(dz/dα)
而df/dα＝d[ze^(acosα+bsinα)]/dα
＝d[(mcosα＋nsinα)e^(acosα+bsinα)]/dα
＝(ncosα－msinα)e^(acosα+bsinα)＋(mcosα＋nsinα)[e^(acosα+bsinα)](bcosα－asinα)
又dz/dα＝ncosα－msinα
∴df/dz＝(df/dα)/(dz/dα)＝e^(acosα+bsinα)＋(mcosα＋nsinα)[e^(acosα+bsinα)](bcosα－asinα)/(ncosα－msinα)
＝e^(acosα+bsinα)＋z[e^(acosα+bsinα)](bcosα－asinα)/z’
＝e^(acosα+bsinα)＋(z/z’)(bcosα－asinα)[e^(acosα+bsinα)]
当然,这只是一种思路.就这道题而言,还可以这样做：
df/dα＝d[ze^(acosα+bsinα)]/dα＝(dz/dα)e^(acosα+bsinα)＋z[e^(acosα+bsinα)](bcosα－asinα)＝z’e^(acosα+bsinα)＋z[e^(acosα+bsinα)](bcosα－asinα)
∴df/dz＝(df/dα)/(dz/dα)＝{z’e^(acosα+bsinα)＋z[e^(acosα+bsinα)](bcosα－asinα)}/z’
＝e^(acosα+bsinα)＋(z/z’)(bcosα－asinα)[e^(acosα+bsinα)]