已知函数f（x,y,z)连续,Σ是平面x-y+z=1在第四卦限的上侧,将对坐标的曲面积分：I=∫∫[f（x,y,z）+x]dydz+[2f（x,y,z）+y]dxdz+[f（x,y,z）+z]dxdy化为对面积的曲面积分,并求出结果.

Question

已知函数f（x,y,z)连续,Σ是平面x-y+z=1在第四卦限的上侧,将对坐标的曲面积分：I=∫∫[f（x,y,z）+x]dydz+[2f（x,y,z）+y]dxdz+[f（x,y,z）+z]dxdy
化为对面积的曲面积分,并求出结果.

Answer 1

要化为对面积的曲面积分,需要求出Σ的法向量的方向余弦：
平面Σ的方程是F（X,Y,Z）=x-y+z-1=0,
F对x求导=1,F对y求导=-1,F对z求导=1,
Σ取上侧,应该保证cosγ为正的,
所以cosα=1/√3,cosβ=-1/√3,cosγ=1/√3.
于是化为对面积的曲面积分=1/√3∫∫[f（x,y,z）+x]-[2f（x,y,z）+y]+[f（x,y,z）+z]dS
=1/√3∫∫1dS
=1/√3*Σ的面积
=1/√3*√3/2=1/2.