高数 数列 极限 证明lim （√n）*arctan n------------------=0 n->∞ 1+n 用定义证明

Question

高数 数列 极限 证明
lim （√n）*arctan n
------------------=0
n->∞ 1+n
用定义证明

Answer 1

证明：
当n→∞时,式子满足∞/∞型,故连续使用L'Hospital法则,分子分母同时求导得：原式 → arctann/2√n+√n/(n^2+1) → 2√n/(n^2+1) → 1/(2n√n)
即求原方程的极限转化为求1/(2n√n)的极限.
显然,当n→∞时,lim[1/(2n√n)]=0,所以
lim[(√n)arctann/(1+n)]=0 得证