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[高数]极限与无穷级数1,1/2lim[2+(-1)^n]开N方,n→∞为何极限为1/2?若N为偶则应该是3开N方,若是奇则是1开N方.3开N方的极限是1?2,判定级数∑[根号(n+1)]*[1-cos(∏/n)]收敛性为什么在解答第一步有l
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答案和解析
1、3开n方的极限就是1!
此题可以使用夹逼准则:1≤2+(-1)^n≤3,所以1≤[2+(-1)^n]^(1/n)≤3^(1/n)
n→∞时,3^(1/n)→1,所以[2+(-1)^n]^(1/n)→1,从而原极限是1/2
2、n→∞时,1-cos(π/n)等价于1/2×(π/n)^2=π^2/2×1/n^2,所以
√(n+1)×[1-cos(∏/n)]与1/n^(3/2)同阶,
使用比较判别法时,与1/n^(3/2)比较即可
3、若Un≥0,则Vn=un≥0,若Un<0,则Vn=0,所以Vn≥0
因为Un≤|Un|,所以Vn≤1/2×2|Un|=Un
综上,0≤Vn≤|Un|
----------
9.6补充:
1、π^2/2×1/n^2与1/n^(3/2)为什么同阶?何来这个结论?说的是
√(n+1)×[1-cos(π/n)]与1/n^(3/2)同阶.
因为√(n+1)×[1-cos(∏/n)]等价于√(n+1)×π^2/2×1/n^2=π^2/2×√(n+1)/√n×1/n^(3/2),前面部分的极限是非零常数π^2/2,所以它与1/n^(3/2)同阶,也就是说当√(n+1)×[1-cos(∏/n)]与1/n^(3/2)使用比较法的极限形式时,结果是π^2/2
2、关于调和级数,S2n-Sn=1/2 应该是:S2n-Sn > 1/2
此题可以使用夹逼准则:1≤2+(-1)^n≤3,所以1≤[2+(-1)^n]^(1/n)≤3^(1/n)
n→∞时,3^(1/n)→1,所以[2+(-1)^n]^(1/n)→1,从而原极限是1/2
2、n→∞时,1-cos(π/n)等价于1/2×(π/n)^2=π^2/2×1/n^2,所以
√(n+1)×[1-cos(∏/n)]与1/n^(3/2)同阶,
使用比较判别法时,与1/n^(3/2)比较即可
3、若Un≥0,则Vn=un≥0,若Un<0,则Vn=0,所以Vn≥0
因为Un≤|Un|,所以Vn≤1/2×2|Un|=Un
综上,0≤Vn≤|Un|
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9.6补充:
1、π^2/2×1/n^2与1/n^(3/2)为什么同阶?何来这个结论?说的是
√(n+1)×[1-cos(π/n)]与1/n^(3/2)同阶.
因为√(n+1)×[1-cos(∏/n)]等价于√(n+1)×π^2/2×1/n^2=π^2/2×√(n+1)/√n×1/n^(3/2),前面部分的极限是非零常数π^2/2,所以它与1/n^(3/2)同阶,也就是说当√(n+1)×[1-cos(∏/n)]与1/n^(3/2)使用比较法的极限形式时,结果是π^2/2
2、关于调和级数,S2n-Sn=1/2 应该是:S2n-Sn > 1/2
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