爆难高手整数数列{an}满足a1a2+a2a3+...+a(n-1)an=(n-1)n(n+1)/3,n=2,3,4...求这样的整数列的个数整数数列{an}满足a1a2+a2a3+...+a(n-1)an=(n-1)n(n+1)/3,n=2,3,4...求这样的整数列的个数

Question

【爆难】【高手】整数数列{an}满足a1a2+a2a3+...+a(n-1)an=(n-1)n(n+1)/3,n=2,3,4...求这样的整数列的个数
整数数列{an}满足a1a2+a2a3+...+a(n-1)an=(n-1)n(n+1)/3,n=2,3,4...
求这样的整数列的个数

Answer 1

a1a2+a2a3+...+aan=(n-1)n(n+1)/3,①
以n+1代n,得
a1a2+a2a3+...+aan+ana=n(n+1)(n+2)/3,
相减得ana=n(n+1),
同理,aa=(n+1)(n+2),
相除得a/an=(n+2)/n,
∴a/(n+2)=an/n,②
由①,n=2时a1a2=2,
a1,a2为整数,
∴（a1,a2)=(1,2),或（2,1）,或（-1,-2）,或（-2,-1）,
由②,这样的数列共4个.