微分中值定理的题目函数f（x）在（0,1）上连续且可导,且f（0）=0,f（1）=1/2证：存在两点ξ1、ξ2属于（0,1）,使得f'(ξ1)+f'(ξ2)=ξ1+ξ2

Question

微分中值定理的题目
函数f（x）在（0,1）上连续且可导,且f（0）=0,f（1）=1/2
证：存在两点ξ1、ξ2属于（0,1）,使得f'(ξ1)+f'(ξ2)=ξ1+ξ2

Answer 1

证：存在两点ξ1、ξ2属于（0,1）,使得f'(ξ1)+f'(ξ2)=ξ1+ξ2
设F(x)＝f(x)－x^2/2
F(x)在[0,1/2]上使用拉格朗日中值定理,存在ξ1∈(0,1/2),使得F'(ξ1)＝[F(1/2)-f(0)] / (1/2-0)
F(x)在[1/2,1]上使用拉格朗日中值定理,存在ξ2∈(1/2,1),使得F'(ξ2)＝[F(1)-f(1/2)] / (1-1/2)
相加,得f'(ξ1)+f'(ξ2)=ξ1+ξ2