已知Limf(x)/x^2=0x->0为什么可以推断出f'(x)=0,f''(x)=0.有一种解释是这样的：由罗比达法则,上下求导得Limf'(x)/2x=0,所以f'(x)=0.x->0但是这种解释有个问题,原函数的极限存在且为零,但这并不意味着

Question

已知Lim f(x)/x^2=0
x->0
为什么可以推断出f'(x)=0,f''(x)=0.
有一种解释是这样的：由罗比达法则,上下求导得Lim f'(x)/2x=0,所以f'(x)=0.
x->0
但是这种解释有个问题,原函数的极限存在且为零,但这并不意味着罗比达法则后的函数的极限一定存在,总所周知,罗比达法则只能证明一个函数的极限存在,并不能证明一个函数的极限不存在,所以原函数运用罗比达法则之后并不能保证所得函数的极限仍为零,也就无法推出f'(x)=0的结论.
f(x)在x=0点二阶可导

Answer 1

已知Lim f(x)/x^2=0
x->0
为什么可以推断出f'(x)=0,f''(x)=0.
这个问题的前提应该加上f(x)在x=0点二阶可导.否则,没这个结论.
这里关键要知道导数的定义
f'(0) 的定义是x--->0 时 分式的极限 分子为f(x)-f(0) 分母为x-0
而已知x--->0 时 f(x)/x^2---->0 注意这是个分式 分母为x----->0 而分式收敛于0 说明分子---->0
（在分母-->0时,只有0/0型才可能收敛,其余的分子形式在分母-->0的情况下不会收敛）
于是有x-->0 时 f(x)---->0
f(x)在x=0点二阶可导
于是f(x)在x=0 连续 即f(0)=0=limf(x) [x-->0]
且在x=0 的某邻域内 f '(x)存在,连续,且在x=0可导即f ''（0)存在 ,
这时候对已知的极限利用罗比达法则 知道
0= Lim f(x)/x^2=limf '(x)/2x 同理 得到 x-->0 时 f ‘(x)-->0 而f '(x)存在且连续 于是f '(0)=limf'(x)=0
(x--->0) (x--->0) (x-->0)
而鉴于 f(x)在x=0点二阶可导
limf '(x)/2x =0 就可得 f "(0)=lim[f '(x)--f '(0)]/[x-0]=lim f '(x)/x=0
(x--->0) (x---->0) (x---->0)