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f(x)在[0,1]上连续,（0,1）上可导,上f(0)=f(1)=0,证明对任意X0属于(0,1),存在ξ属于(0,1),使得f'(ξ)=f(X0).关键X0在函数里面,好纠结,不容易构造函数.
题目详情
f(x)在[0,1]上连续,（0,1）上可导,上f(0)=f(1)=0,证明对任意X0属于(0,1),存在ξ属于(0,1),使得f'(ξ)=f(X0).关键X0在函数里面,好纠结,不容易构造函数.
▼优质解答
答案和解析
如果f(x0)=0,由罗尔定理显然.
下面不妨设f(x0)>0.令g(x)=f(x)-f(x0)x,则
g(0)=0,g(1)=-f(x0)0,这表明函数g(x)必在(0,1)内取某点ξ到最大值,由费马定理知g'(ξ)=0,即f'(ξ)=f(x0).
下面不妨设f(x0)>0.令g(x)=f(x)-f(x0)x,则
g(0)=0,g(1)=-f(x0)0,这表明函数g(x)必在(0,1)内取某点ξ到最大值,由费马定理知g'(ξ)=0,即f'(ξ)=f(x0).
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