已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c图像上的点p(1.f(1))处的切线方程为y=_3x+1,函数g(x)=f(x)-ax^2+3是奇函数,求函数的表达式个极值

Question

已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c图像上的点p(1.f(1))处的切线方程为y=_3x+1,函数g(x)=f(x)-ax^2+3是奇函数,求函数的表达式个极值

Answer 1

分析：由题意先求f（x）的导函数,利用导数的几何含义和切点的实质及g（x）为奇函数建立a,b,c的方程求解即可；
有上可知函数f（x）的解析式,先对函数f（x）求导,再利用极值概念加以求解即可．
f′（x）=-3x^2+2ax+b,
∵函数f（x）在x=1处的切线斜率为-3,
∴f′（1）=-3+2a+b=-3,即2a+b=0,
又f（1）=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1,
又函数g（x）=-x^3+bx+c+3是奇函数,
∴c=-3．∴a=-2,b=4,c=-3,
∴f（x）=-x^3-2x^2+4x-3．
f′（x）=-3x^2-4x+4=-（3x-2）（x+2）,令f（x）=0,得x= 2/3或x=-2,
当x∈（-∞,-2）时,f′（x）＜0,函数f（x）在此区间上单调递减；
当x∈ (-2,2/3)时,f′（x）＞0,函数f（x）在此区间单调递增；
当x∈ (2/3,+∞)时,f′（x）＜0,函数f（x）在此区间上单调递减；
所以f（x）极小=f（-2）=-11,f（x）极大=f (2/3)=-41/27．．