高一数学问题1.对于函数f(x)=a-2/(除以的意思)2的x次方减2(a属于R)(1)探索函数f(x)的单调性(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数2.设f(x)=e的x次方减e的负x次方/2,g(x)=e的x次方加e的负x次方/2,求证:(1)

Question

高一数学问题
1.对于函数f(x)=a-2/(除以的意思)2的x次方减2 (a属于R)
(1)探索函数f(x)的单调性
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数
2.设f(x)=e的x次方减e的负x次方/2,g(x)=e的x次方加e的负x次方/2,求证:
(1)[g(x)]的平方-[f(x)]的平方=1
(2)f(2x)=2f(x)*g(x)
(3)g(2x)=[g(x)]的平方+[f(x)]的平方
3.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来温度为x1摄氏度,空气的温度为x0摄氏度,t min(分钟)后物体的温度x摄氏度可由公式x=x0+(x1-x2)e的负kt方.求得,这里k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数.现有62摄食度的物体,放在15摄食度的空气中冷却,1分钟后物体的温度是52摄食度.求上式中k的只值(精确到以为有效数字),然后计算开始冷却后多长时间物体的温度是42摄食度,32摄食度.物体会不会冷却到12摄食度?

Answer 1

1、f(x)=a-2/(2^x -2)；x≠1;设1＜x1＜x2则f(x2)-f(x1)=2/(2^x1 -2) -2/(2^x2 -2)=2(2^x2 -2^x1)/(2^x1 -2)(2^x2 -2)＞0函数为增函数；设x1＜x2＜1则f(x2)-f(x1)=2(2^x2 -2^x1)/(2^x1 -2)(2^x2 -2)＞0函数为增函数
函数为奇函数则f(-x)=a-2/[2^(-x)-2]=-f(x)=-a+2/(2^x-2)转化为2a=2(2^x+2^-x)/[5-2(2^x+2^-x)]由于2^x+2^-x是变量；故不存在实数a使得函数为奇函数
2、f(x)=(e^x -e^-x)/2 ;g(x)=(e^x +e^-x)/2则[g(x)]^2-[f(x)]^2=[g(x)+f(x)][g(x)-f(x)]=e^x *e^-x=e^0=1得证
f(2x)=(e^2x -e^-2x)/2;2f(x)g(x)=2*(e^x -e^-x)/2 *(e^x +e^-x)/2=(e^2x -e^-2x)/2即f(2x)=2f(x)g(x)得证
g(2x)=(e^2x +e^-2x)/2;[g(x)]^2+[f(x)]^2=(e^2x +e^-2x)/4+1/2+(e^2x +e^-2x)/4-1/2==(e^2x +e^-2x)/2即g(2x)=[g(x)]^2+[f(x)]^2