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如图,在平行四边形ABCD中,AC为对角线,EF⊥AC于点O,交AD于点E,交BC于点F,连结AF,CE.请你探究当O点满足什么条件时,四边形AFCE是菱形,并说明理由.
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如图,在平行四边形ABCD中,AC为对角线,EF⊥AC于点O,交AD于点E,交BC于点F,连结AF,CE.请你探究当O点满足什么条件时,四边形AFCE是菱形,并说明理由.
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答案和解析
当O点为平行四边形的对角线AC BD的交点时四边形AFCE为菱形
证明：
连接BD
设AFCE为菱形
AF=FC=CE=EA
AO=CO EO=FO
因为abcd为平行四边形
所以ad平行且等于bc
因为ea等于fc
所以ed等于bf
因为ad平行且等于bc
所以角def等于角bfe（内错角）
因为eo=fo,角def=角bfe,de=bf
所以三角形bfo全等三角形deo
所以bd交ef于O
因为bd为平行四边形的对角线
因为ac交ef于O
所以ac交bd于O
所以当O为平行四边形对角线交点时AFCE为菱形
证明：
连接BD
设AFCE为菱形
AF=FC=CE=EA
AO=CO EO=FO
因为abcd为平行四边形
所以ad平行且等于bc
因为ea等于fc
所以ed等于bf
因为ad平行且等于bc
所以角def等于角bfe（内错角）
因为eo=fo,角def=角bfe,de=bf
所以三角形bfo全等三角形deo
所以bd交ef于O
因为bd为平行四边形的对角线
因为ac交ef于O
所以ac交bd于O
所以当O为平行四边形对角线交点时AFCE为菱形
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