抛物线y=ax^2+bx+c交x轴于A、B两点,与y轴交于点C,已知抛物线的对称轴为x=1,B(3,0),C(0,-3)（1）求二次函数y=ax^2+bx+c的解析式（2）在抛物线的对称轴是否存在一点P,使点P到B、C两点距离差最大?若存在

Question

抛物线y=ax^2+bx+c交x轴于A、B两点,与y轴交于点C,已知抛物线的对称轴为x=1,B(3,0),C(0,-3)
（1）求二次函数y=ax^2+bx+c的解析式
（2）在抛物线的对称轴是否存在一点P,使点P到B、C两点距离差最大?若存在,求出点P坐标；若不存在,请说明理由
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点,若以MN为直径的圆恰好与x轴相切,求此圆的半径

Answer 1

（1）
y=ax^2+bx+c
抛物线的对称轴为x=1,B（3,0）,所以X轴另一个交点A（-1,0）
将A,B,C三点分别代入公式
0=a-b+c
0=9a+3b+c
-3=c
a=1,b=-2,c=-3
y=x^2-2x-3
（2）
设P（1,y）
|PB|^2=y^2+4>=4 (y=0时取得最小值4)
|PC|^2=(y+3)^2+1=y^2+6y+10=(y+3)^2+1>=1 （在y=-3时取得最小值1）
|PB|-|PC|=√(y^2+4)-√(y^2+6y+10)
当|PB|=|PC|时能取得最小值0,不能取得最大值,最小时y=-1
（3）
平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点,若以MN为直径的圆恰好与x轴相切,所以MN两点关于x=1对称
设圆的半径为R
所以M(1-R,R),N(1+R,R)
代入曲线方程
R=(1-R)^2-2(1-R)-3
R=(1+√17)/2,R=(1-√17)/2(舍去)
即圆的半径为(1+√17)/2