（2012•绵阳二模）已知函数f（x）=-2x2+4x，g（x）=alnx（a＞0）（I）若直线l1交函数f（x）的图象于P，Q两点，与l1平行的直线l2与函数f（x）的图象切于点R，求证P，R，Q三点的横坐标成等差数

Question

（2012•绵阳二模）已知函数f（x）=-2x²+4x，g（x）=alnx（a＞0）
（I）若直线l₁交函数f（x）的图象于P，Q两点，与l₁平行的直线l₂与函数f（x）的图象切于点R，求证 P，R，Q三点的横坐标成等差数列；
（II）若不等式f（x）≤4x-g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（III）求证：(ln2)/(24)+(ln3)/(34)+(ln4)/(44)+…+(lnn)/(n4)＜(1)/(e)〔其中n≥2，n∈N^*，e为自然对数的底数）．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵函数f（x）=-2x2+4x，g（x）=alnx（a＞0），∴f′（x）=-4x+4，设切点R（x0，y0）则kl1＝kl2=-4x0+4．令l2：y=（-4x0+4）x+b．联立y＝(−4x0+4)x+by＝−2x2+4x，消去y得 2x2-4x0x+b=0．令P（x1，...