已知函数y=f（x）既是二次函数又是幂函数，函数y=g（x）的图象与函数y=ex的图象关于直线函数y=x对称．若直线x=2t（t∈R）与函数y=f（x）的图象和函数y=g（x）的图象的交点分别为P，Q，则当|PQ

Question

已知函数y=f（x）既是二次函数又是幂函数，函数y=g（x）的图象与函数y=e^x的图象关于直线函数y=x对称．若直线x=

√(2)t（t∈R）与函数y=f（x）的图象和函数y=g（x）的图象的交点分别为P，Q，则当|PQ|达到最小时，t的值为 （　　）

A. 1

B.

(1)/(2)

C.

(√(5))/(2)

D.

(√(2))/(2)

Answer 1

∵y=f（x）既是二次函数又是幂函数，
∴f（x）=x²，
∵函数y=g（x）的图象与函数y=e^x的图象关于直线函数y=x对称，
∴g（x）=lnx，
则|PQ|=（√(2)t）²-ln√(2)t=2t²-ln√(2)-lnt，
设h（t）=2t²-ln√(2)-lnt，t>0，
则h′（t）=4t-(1)/(t)=(4t2-1)/(t)，
由h′（t）>0得t>(1)/(2)，此时函数单调递增，
由h′（t）<0得0<t<(1)/(2)，此时函数单调递减，
即当t=(1)/(2)时，函数h（t）取得极小值同时也是最小值，
即t=(1)/(2)，
故选：B．